Алгебра 11 класс: Понятие уравнения-следствия

        🔑
        ИдеяПредставь, что множество корней первого уравнения — маленький кружок $A$, а множество корней второго — кружок побольше $B$, который полностью включает в себя первый. Тогда второе уравнение — следствие первого: каждый корень $A$ обязательно попадёт и в $B$, а вот у $B$ вполне может найтись "лишний жилец" — корень, которого в $A$ не было.
      

📐 ОпределениеПусть даны уравнения $f(x)=g(x)$ и $p(x)=\varphi(x)$. Если любой корень первого уравнения является корнем второго, то второе уравнение называют следствием первого. В частности, если первое уравнение не имеет корней, то любое второе уравнение — его следствие.

Например, уравнения $x=1$ и $x^2=1$: единственный корень первого ($x=1$) является корнем второго, поэтому $x^2=1$ — следствие уравнения $x=1$. Но у $x^2=1$ есть ещё корень $x=-1$, которого нет у $x=1$ — значит, эти уравнения не равносильны.

Что происходит с корнями

1 Переход к уравнению-следствию никогда не теряет корни исходного уравнения — это прямо следует из определения.

2 Зато при таком переходе могут появиться посторонние корни — те, что удовлетворяют новому уравнению, но не исходному.

3 Поэтому проверка всех найденных корней подстановкой в исходное уравнение — обязательная часть решения, а не "на всякий случай".

Преобразования, приводящие к уравнению-следствию

Каждое из них может (но не обязано) породить посторонние корни:

1 Возведение уравнения в чётную степень. Пример: $x=1 \;\Rightarrow\; x^4=1$, у следствия появился посторонний корень $x=-1$.

2 Потенцирование логарифмического уравнения $\log_a f(x)=\log_a g(x) \;\Rightarrow\; f(x)=g(x)$. Пример: $\lg(x^2-4)=\lg(4x-7) \;\Rightarrow\; x^2-4=4x-7$, посторонний корень $x=1$.

3 Освобождение от знаменателя $\dfrac{f(x)}{g(x)}=0 \;\Rightarrow\; f(x)=0$. Пример: $\dfrac{x^2-5x+4}{x-1}=0 \;\Rightarrow\; x^2-5x+4=0$, посторонний корень $x=1$ (обнуляет знаменатель!).

4 Приведение подобных членов. Пример: $x+\sqrt{x}+(1-\sqrt{x})=0 \;\Rightarrow\; x+1=0$, посторонний корень $x=-1$.

Пример: разбор с проверкой

Решим уравнение $x=1$ через переход к уравнению-следствию $x^4=1$.

1 Возводим обе части в четвёртую степень (чётную!): $x=1 \;\Rightarrow\; x^4=1$.

2 Решаем уравнение-следствие: $x^4=1 \;\Leftrightarrow\; x^4-1=0 \;\Leftrightarrow\; x\in\{-1;\,1\}$.

3 Проверяем оба корня в исходном уравнении $x=1$: корень $1$ подходит, корень $-1$ — нет ($-1\ne1$).

4 Ответ: $x=1$. Корень $-1$ отброшен как посторонний.

⚠️ Частая ошибкаНайдя корни уравнения-следствия, ученик сразу записывает их в ответ, забыв про проверку. Но если переход был через возведение в чётную степень, потенцирование, освобождение от знаменателя или приведение подобных — обязательно подставляй каждый корень в исходное уравнение: часть из них может оказаться посторонней.

Запомни

🧠 Уравнение-следствие

второе уравнение — следствие первого, если множество корней первого содержится в множестве корней второго ($A \subseteq B$);
переход к следствию корни не теряет, но может их добавить (посторонние);
к следствию приводят: возведение в чётную степень, потенцирование логарифма, освобождение от знаменателя, приведение подобных;
проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение — обязательна.

§7 · п.7.2 Равносильные преобразования неравенств Все темы §8 · п.8.2 Возведение уравнения в чётную степень

Множество корней A (исходное) внутри множества корней B (следствие)