🔑ИдеяКорень квадратный $\sqrt{\phantom{x}}$ всегда неотрицателен. Когда мы возводим уравнение $f(x)=g(x)$ в квадрат, "знак" информации теряется: уравнение $f^2(x)=g^2(x)$ уже не различает случаи $f(x)=g(x)$ и $f(x)=-g(x)$. Отсюда и берутся посторонние корни — это "зеркальные" решения, которые появляются из-за потери знака.
📐ПравилоПусть $2m$ — фиксированное чётное натуральное число. Тогда следствием уравнения $f(x)=g(x)$ является уравнение $\bigl(f(x)\bigr)^{2m}=\bigl(g(x)\bigr)^{2m}$. Чаще всего это применяют для иррациональных уравнений — тех, где неизвестное стоит под знаком корня.
Пример 1 (иррациональное уравнение)
Решим уравнение $x+1=\sqrt{3x+7}$.
1Возводим обе части в квадрат: $(x+1)^2=3x+7$ — уравнение-следствие.
2Раскрываем и решаем: $x^2+2x+1=3x+7 \;\Leftrightarrow\; x^2-x-6=0 \;\Leftrightarrow\; x\in\{-2;\,3\}$.
3Проверяем оба корня в исходном уравнении. При $x=3$: $3+1=4$ и $\sqrt{3\cdot3+7}=\sqrt{16}=4$ — верно. При $x=-2$: слева $-2+1=-1$, справа $\sqrt{3\cdot(-2)+7}=\sqrt{1}=1$ — не равно (корень квадратный не бывает отрицательным числом слева).
4Ответ: $x=3$. Корень $-2$ — посторонний, он появился именно из-за возведения в квадрат.
Ещё примеры из учебника
Уравнение с модулем $|x^2-3x-1|=x^2-2x-2$ после возведения в квадрат даёт уравнение-следствие $(x^2-3x-1)^2=(x^2-2x-2)^2$ с тремя корнями $x\in\{-0{,}5;\,1;\,3\}$, но проверкой подтверждается только $x=3$.
Уравнение с тригонометрией $\sqrt{1-\sin x}=\cos x$ после возведения в квадрат теряет часть исходной информации о знаке $\cos x$ — при решении такой серии приходится отдельно выяснять, для каких $k$ значение $\cos(\pi k)=(-1)^k$ действительно неотрицательно.
⚠️Частая ошибкаУченик возводит уравнение в квадрат и сразу пишет оба найденных корня в ответ — забывая, что квадрат "не видит" знак. Любой корень нужно подставить в исходное (не в возведённое!) уравнение — только так можно отличить настоящее решение от постороннего.
Запомни
🧠Возведение в чётную степень
$f(x)=g(x) \;\Rightarrow\; f^{2m}(x)=g^{2m}(x)$ — переход к уравнению-следствию, не к равносильному;
особенно часто применяется для иррациональных уравнений вида $f(x)=\sqrt{g(x)}$;
графически: до возведения — одна кривая (например, $\sqrt{g(x)}$, только верхняя ветвь), после — уже парабола/симметричная кривая с лишней веткой;
каждый корень уравнения-следствия обязан пройти проверку в исходном уравнении.