Алгебра 11 класс: Корни из комплексных чисел и их свойства

        ⭐
        ИдеяСреди действительных чисел у $8$ ровно один кубический корень — $2$. А вот среди комплексных у любого ненулевого числа $z$ ровно $n$ различных корней степени $n$ — и все они лежат на одной окружности, образуя вершины правильного $n$-угольника!
      

📐 ОпределениеКорнем степени $n$ из числа $z\ne0$ называют любое число $\alpha$, такое, что $\alpha^n=z$. Таких чисел ровно $n$, и все они вычисляются по формуле:

$$\alpha_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),\quad k=0,1,\dots,n-1$$

где $z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$, $\sqrt[n]{r}$ — обычный арифметический корень.

Геометрия корней

1 Все $n$ корней имеют одинаковый модуль $\sqrt[n]{r}$ — лежат на одной окружности радиуса $\sqrt[n]{r}$.

2 Аргументы соседних корней отличаются на $\dfrac{2\pi}{n}$ — точки распределены равномерно по окружности.

3 Значит, точки $\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1}$ — вершины правильного $n$-угольника, вписанного в эту окружность.

4 Для корней из $1$: если $n$ чётно, есть ровно два действительных корня ($1$ и $-1$); если нечётно — только один ($1$).

Пример из учебника

Найдём корни третьей степени из $z=\sqrt3+i$: здесь $r=2$, $\varphi=\dfrac{\pi}{6}$, поэтому

$$\alpha_k=\sqrt[3]{2}\left(\cos\frac{\pi/6+2\pi k}{3}+i\sin\frac{\pi/6+2\pi k}{3}\right),\quad k=0,1,2$$

Три корня равномерно расставлены по окружности радиуса $\sqrt[3]{2}$ через угол $120°$ друг от друга — вершины правильного треугольника.

⚠️ Частая ошибкаЗабывают, что корней ровно $n$, и находят только один (при $k=0$), как в случае действительных чисел. Не забывай перебрать все значения $k=0,1,\dots,n-1$ — при $k=n$ формула снова даёт $\alpha_0$, дальше корни просто повторяются.

Запомни

🧠 Корни степени n

ровно $n$ различных корней для любого $z\ne0$;
все — на окружности радиуса $\sqrt[n]{r}$, равномерно, через угол $\tfrac{2\pi}{n}$;
вершины правильного $n$-угольника;
корни из $1$: два действительных при чётном $n$, один — при нечётном.

§17* · п.17.1* Тригонометрическая форма Все темы Гл.III · §18* · п.18.1* Корни многочленов

Корни степени $n$ из $z=\sqrt3+i$ — вершины правильного n-угольника

n = 3