11 класс · Комплексные числа
17.2*. Корни из комплексных чисел и их свойства
ИдеяСреди действительных чисел у $8$ ровно один кубический корень — $2$. А вот среди комплексных у любого ненулевого числа $z$ ровно $n$ различных корней степени $n$ — и все они лежат на одной окружности, образуя вершины правильного $n$-угольника!
ОпределениеКорнем степени $n$ из числа $z\ne0$ называют любое число $\alpha$, такое, что $\alpha^n=z$. Таких чисел ровно $n$, и все они вычисляются по формуле:
$$\alpha_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),\quad k=0,1,\dots,n-1$$
где $z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$, $\sqrt[n]{r}$ — обычный арифметический корень.
Геометрия корней
1
Все $n$ корней имеют одинаковый модуль $\sqrt[n]{r}$ — лежат на одной окружности радиуса $\sqrt[n]{r}$.
2
Аргументы соседних корней отличаются на $\dfrac{2\pi}{n}$ — точки распределены равномерно по окружности.
3
Значит, точки $\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1}$ — вершины правильного $n$-угольника, вписанного в эту окружность.
4
Для корней из $1$: если $n$ чётно, есть ровно два действительных корня ($1$ и $-1$); если нечётно — только один ($1$).
Пример
Найдём корни третьей степени из $z=\sqrt3+i$: здесь $r=2$, $\varphi=\dfrac{\pi}{6}$, поэтому
$$\alpha_k=\sqrt[3]{2}\left(\cos\frac{\pi/6+2\pi k}{3}+i\sin\frac{\pi/6+2\pi k}{3}\right),\quad k=0,1,2$$
Три корня равномерно расставлены по окружности радиуса $\sqrt[3]{2}$ через угол $120°$ друг от друга — вершины правильного треугольника.
Частая ошибкаЗабывают, что корней ровно $n$, и находят только один (при $k=0$), как в случае действительных чисел. Не забывай перебрать все значения $k=0,1,\dots,n-1$ — при $k=n$ формула снова даёт $\alpha_0$, дальше корни просто повторяются.
Запомни
Корни степени n
- ровно $n$ различных корней для любого $z\ne0$;
- все — на окружности радиуса $\sqrt[n]{r}$, равномерно, через угол $\tfrac{2\pi}{n}$;
- вершины правильного $n$-угольника;
- корни из $1$: два действительных при чётном $n$, один — при нечётном.